Zastosowanie prawa Gaussa: Jednorodnie naładowana kula

Jednorodnie w całej objętości możemy naładować jedynie kulę z izolatora bo w przewodniku cały ładunek gromadzi się na powierzchni. Taka kula może być rozpatrywana z zewnątrz jako szereg współśrodkowych powłok kulistych (opisanych powyżej). Tak więc pole elektryczne na zewnątrz kuli o promieniu \( R \) naładowanej ładunkiem \( Q \), w odległości \( r \) od jej środka ( \( r>R \) ) jest dane wzorem Zastosowanie prawa Gaussa: Jednorodnie naładowana sfera-( 3 ). Pozostaje więc nam obliczenie pola elektrycznego w dowolnym punkcie wewnątrz kuli czyli w odległości \( r<R \) . Na Rys. 1 pokazana jest taka kula i wybrana powierzchnia Gaussa \( S \).

: Kula naładowana jednorodnie ładunkiem {OPENAGHMATHJAX()}Q{OPENAGHMATHJAX}

Rysunek 1: Kula naładowana jednorodnie ładunkiem \( Q \)

Zgodnie z równaniem Zastosowanie prawa Gaussa: Jednorodnie naładowana sfera-( 1 ) pole elektryczne na powierzchni Gaussa jest równe

(1)

\( {E=k\frac{Q_{{\text{wewn}\text{.}}}}{r^{{2}}}} \)

gdzie \( Q_{wewn.} \) jest ładunkiem wewnątrz powierzchni Gaussa. Ponieważ kula jest naładowana równomiernie to

(2)

\( {Q_{{\text{wewn}\text{.}}}=Q\frac{\frac{4}{3}\mathit{\pi r}^{{3}}}{\frac{4}{3}\mathit{\pi R}^{{3}}}=Q\left(\frac{r}{R}\right) ^3} \)

(stosunek objętości kuli o promieniu \( r \) do objętości kuli o promieniu \( R \)).

Ostatecznie otrzymujemy dla \( r<R \)

(3)

\( {E=\frac{1}{4{\pi \varepsilon}}_{{0}}\frac{Q\left(\frac{r}{R}\right)^{{3}}}{r^{{2}}}} \)

lub

(4)

\( {E=\frac{1}{4{\pi \varepsilon}}_{{0}}\frac{Q}{R^{{3}}}r=k\frac{Q}{R^{{3}}}r} \)

Wykres natężenia pola \( E \) w funkcji odległości od środka jednorodnie naładowanej kuli jest pokazany na Rys. 2.

: Zależność pola {OPENAGHMATHJAX()}E{OPENAGHMATHJAX} od odległości od środka naładowanej kuli o promieniu {OPENAGHMATHJAX()}R{OPENAGHMATHJAX}

Rysunek 2: Zależność pola \( E \) od odległości od środka naładowanej kuli o promieniu \( R \)

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Fizyka

Zastosowanie prawa Gaussa: Jednorodnie naładowana kula